Чтобы установить происхождение имени, нужно вспомнить, чем интересовался Говард и какими источниками мог пользоваться.
Поэтому начнем с абхазского слова "солнце": стоит вообще предполагать подобные источники в нашем случае и копать в данном направлении?

По поводу арабского языка. В арабском слово "Амра" - это женское имя и означает оно "принцесса". "Жизнь" - "Амр" - это, во-первых, похожее, но другое слово, а, во-вторых, я ниже напишу, почему арабское происхождение крайне сомнительно.
На самом деле прозвище Конана Говард позаимствовал у самого себя. В самых ранних произведениях про кроманьонцев у него был главный герой по имени Ам-ра из племени Та-ан. Эти ранние наработки были предтечами рассказов о Кулле, там Говард снова использовал это имя для одного из своих атлантов. Согласитесь, крайне сомнительно, что тут могут быть какие-то арабские корни. С очень большой долей вероятности, имя просто выдуманное: оно в принципе ничем не выделяется из десятков других "дикарских" имен из ранних произведений Говарда.

Но если вдруг и искать какие-то языковые корни для говардовских "протокельтов", то у самих же кельтов. Слово "Amra" - это "хвалебная песнь" у ирландцев. Самая известная Amra, о которой Говард, несомненно, должен был слышать, интересуясь своими кельтскими корнями, - это Amra Choluim Chille ирландского барда Даллана Форгайла.
Но я бы не стал сильно цепляться за эту версию: точной информации нет, и это с таким же успехом может быть элементарным совпадением, так как имя "Ам-ра", повторюсь, слишком простое и мало чем отличается от всяких "Ка-ну", "Гор-на" и прочих.